Question

一元二次不等式恒成立问题

第二小问

Answer 1

答：
f(x)=mx²-mx-1
1）对于任意实数R，f(x)<0恒成立
m=0时，f(x)=0-0-1=-1<0恒成立，满足题意
m>0时，抛物线f(x)开口向上，总存在x使得f(x)>0，不满足题意
m<0时，抛物线f(x)开口向下，与x轴无交点，满足：
判别式=(-m)²-4m*(-1)=m²+4m<0
解得：-4<m<0
综上所述，-4<m<=0

2）
1<=x<=3，f(x)<5-m恒成立
f(x)=mx²-mx-1<5-m
设g(x)=mx²-mx+m-6<0在[1,3]上恒成立
m=0时，g(x)=-6<0满足题意，符合
m>0时，抛物线g(x)开口向上，对称轴x=1/2
g(x)在[1,3]上是增函数：g(x)<=g(3)=9m-3m+m-6=7m-6<0，0<m<6/7
m<0时，抛物线g(x)开口向下，对称轴x=1/2
g(x)在[1,3]上是减函数：g(x)<=g(1)=m-m+m-6=m-6<0，m<0
综上所述，m<6/7

Answer 2

(2)f(x)=mx²-mx-1＜5-m;
mx²-mx+m-6＜0恒成立
m(x-1/2)²-m/4+m-6＜0恒成立
∴m≤0;
-m/4+m-6＜0;
3m/4＜6;
m＜8;
∴m≤0;

您好，很高兴为您解答，skyhunter002为您答疑解惑
如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳
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追问

可是这样算就没考虑到x∈[1,3]这个条件了啊 而且参考答案是 第二问m的取值范围为（﹣∞，﹣七分之六）

追答

(2)f(x)=mx²-mx-1＜5-m;
mx²-mx+m-6＜0恒成立
m(x-1/2)²-m/4+m-6＜0恒成立
∵1≤x≤3;
∴(x-1/2)²∈[1/4,25/4]
(1)m≤0时；m/4-m/4+m-6＜0;

m＜6;
∴m≤0;
(2)m＞0时；25m/4-m/4+m-6＜0;
25m-m+4m-24＜0;
28m＜24;
m＜6/7;
∴0＜m＜6/7;

综合m＜6/7即可

抱歉，忘记了

Answer 3

（1）、m=0时，显然成立
m<0时，令▲<0求出m即可
（2）、将（f）代入不等式，合并，变成关于m的一元一次方程（即直线永在m轴下方或上方《此时m为变量，X看成已知》），已知X范围，结合画图即可看出怎么求解了

你试试吧

追问

你好 ，为什么一定要要当m＝0 或 m＜0时

追答

m>0开口向上，显然不成立