Question

求抛物线y^2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积

先求交点x=y^2/2=y+4y^2-2y-8=0(y-4)(y+2)=0y=4,y=-2x=y+4所以交点(8,4),(2,-2)围成的图形有一部分在x轴下方其中0<=x<=2,x轴下方的抛物线是y=-√(2x)所以S=∫(0到2){√(2x)-[-√(2x)]}dx+∫(2到8)[√(2x)-(x-4)]dx=∫(0到2)2√(2x)dx+∫(2到8)[√(2x)-x+4]dx=2/3*(2x)^(3/2)(0到2)+[1/3*(2x)^(3/2)-x^2/2+4x](2到8)=(16/3-0)+(64/3-26/3)=18
最后答案是18 用X解 但是我不明白的是∫(2到8)[√(2x)-(x-4)]dx算出来 但是没有包括我图中画的黑色的三角形啊 感觉最后答案还要加上黑色三角形的面积才对 求解

Answer 1

其实用作自变量更容易(下限为-2；不知为何不清楚)。

如用x作自变量，从2到8的积分包括标出的三角形面积，因为√(2x)是抛物线在x轴以上的部分(x > 2), (x - 4)为直线在x>2的部分。

Answer 2

2->8 只要根号（2x)-(x-4)）是被积函数就是S2+黑色三角形面积阿，

Answer 3

所围成的图形的面积=17.91