Question

高等数学题：求下列微分方程的通解（比较难）

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Answer 1

1、(1-x^2)y"-xy'=2
令x=sinθ，p=dy/dx，则dx=cosθ*dθ则
y''=dp/dx=(dθ/dx)*(dp/dθ)=secθ*(dp/dθ)
代入可得
cosθ*(dp/dθ)-sinθ*p=2
即
d(cosθ*p)=2dθ
积分得
cosθ*p=2θ+A
而p=dy/dx=(dθ/dx)*(dy/dθ)=secθ*(dy/dθ)
代入可得
dy/dθ=2θ+A
即
dy=(2θ+A)dθ
积分得
y=θ^2+Aθ+B
而x=sinθ，故θ=arcsinx带回得
y=(arcsinx)^2+Aarcsinx+B

2、y"=1/(1+x^2)
即dy'=dx/(1+x^2)
令x=tanθ，则dx=[(secθ)^2]*dθ
带入可得
dy'=dθ
积分得
y'=θ+A=arctanx+A
即
dy/dx=arctanx+A
即
dy=(arctanx+A)dx
积分得
y=∫(arctanx+A)dx=∫arctanx*dx+Ax+B
下面计算∫arctanx*dx