Question

设y=y(x)是二阶常系数微分方程y''+py'+qy=e^3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0

设y=y(x)是二阶常系数微分方程y''+py'+qy=e^3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数ln(1-x^2)/y(x) 的极限是多少，求详细解答，急急急！！！

Answer 1

刚好我也在做这道题。不会做就百度，结果就百度到你这儿这么一个。。无奈自己做又做出来了。
在y''+py'+qy=e^3x用所给条件带入求得y''=1。然后用ln(1-x^2)等价无穷小换为x^2，再对极限用两次洛必达，答案为2

Answer 2

先求出对应齐次方程的通解，然后再找一个非齐次方程的特解，特解很好找，就是e^3x乘以一个常数倍，常数用待定系数法求出，然后非齐次方程的通解就是齐次方程的通解加上非齐次方程的特解。最后把初值带入，确定通解中的常数即可。

追问

为什么非齐次方程的特解是e^3x乘以一个常数？x^K去哪了？

追答

额。好像是要讨论一下。如果9+3p+q≠0的话，设特解是ce^3x可以解出c
如果=0的话，再试cxe^3x,这应该也是大多数情况满足，除了当p，q满足某个关系的时候。
然后如果两个关系都满足的话，再试cx²e^3x
这三个算出来应该是必有一个会满足，因为如果都不满足，会得到三个关于p，q的一次式，这三个式子显然不能同时成立。
所以最后结果应该按p，q的关系分情况讨论一下。

追问

能把解题过程写一吗？求解！！真心想弄明白

追答

额。。这个比较复杂，比较难写清楚。建议你先找本书看看。