设f(x)在(负无穷,正无穷)上连续,且f(x)极限存在,证明f(x)为有界函数
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lim(x->∞)f(x)=A
即对任意的ε>0(那么不妨取ε=1),存在X>0,使|x|>X时
有|f(x)-A|<1,即A-1<f(x)<A+1
故已经证明在|x|>X上,f(x)有界
那么在|x|<=X上,由于f(x)连续,故由闭区间上连续函数有界可得f(x)有界
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即对任意的ε>0(那么不妨取ε=1),存在X>0,使|x|>X时
有|f(x)-A|<1,即A-1<f(x)<A+1
故已经证明在|x|>X上,f(x)有界
那么在|x|<=X上,由于f(x)连续,故由闭区间上连续函数有界可得f(x)有界
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有|f(x)-A|<1,即A-1<f(x)<A+1
故已经证明在|x|>X上,f(x)有界
那么在|x|<=X上,由于f(x)连续,故由闭区间上连续函数有界可得f(x)有界
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即对任意的ε>0(那么不妨取ε=1),存在X>0,使|x|>X时
有|f(x)-A|<1,即A-1<f(x)<A+1
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即对任意的ε>0(那么不妨取ε=1),存在X>0,使|x|>X时
有|f(x)-A|<1,即A-1<f(x)<A+1
故已经证明在|x|>X上,f(x)有界
那么在|x|<=X上,由于f(x)连续,故由闭区间上连续函数有界可得f(x)有界
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有|f(x)-A|<1,即A-1<f(x)<A+1
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