Question

有关数学恒成立的例题及解法

Answer 1

分离参数
a≥-2(1/e^x+xe^x/e^x)
令g(x)=-2((1/e^x)+x)=-2(e^-x+x)
则问题转化为讨论g(x)在闭区间[-1,1]上的最大值问题
g'(x)=-2(-e^-x+1)=2(e^-x)-2
显然g'(x)=0有唯一解x=0
在该点导函数左正右负
所以必然g(x)在x=0取得最大值gmax(x)=g(0)=-2
综上a≥gmax(x)=g(0)=-2

Answer 2

恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程。例：要使函数f(x)=ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制－－令a>=0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单。
能成立指函数在其定义域的某一个区间甚至是某一点满足所要求的条件，按照上面的说法，参数的存在确实限制了满足条件时的x的取值范围，但这并不对能成立有什么影响（只要找到一个x使得函数满足条件就行了），因此，求能成立时应该是用一些判定公式（如b^2-4ac之类的），就不用分离参数了。
哥们我觉得我们这样是在纸上谈兵，没什么意义的。你在问题里说直接说方法，但是对于做数学题来说是没有一个万能的方法的。分离参数和求导，这是在解题过程中经常用到的方法，想对它们分个先后顺序是不行的。
比如说在求恒成立时，分离参数和求导都是不错的解法；在求能成立时，求导相对来说比分离参数好。但这并不是绝对的，要学会随机应变。
对此，我想说如果是我的话，我做题是头脑一片空白的，我不会刻意去想要先分离参数还是先求导什么的，我只会看题目要我求什么，然后列出已知条件，看能得到什么，求求导、分离参数什么的只要是有可能解所做题目的方法都可以尝试一下。所以只要你对课本的知识掌握得很扎实的话，做普通的题目就没什么问题啦。还有就是那些很灵活、很难做的题，随缘吧