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高中数学函数恒成立问题解题方法_一个口诀恒成立与能成立问题

Answer 1

函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.

解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.

一、函数性质法

【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.此法关键在函数的构造上,常见于两种----一分为二或和而为一,另一点充分利用函数的图象来分析,即体现数形结合思想

二、分离参数法

三、主参换位法

【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于X的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x为参数,以m为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数x应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.

四、数形结合法

【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象

老师前面分享过高中数学的枢纽章节函数。可以说函数是高中数学的一个重要的点，可以说高中数学的大部分知识都与函数有关系，而恒成立问题也是函数知识中不可或缺的知识。

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