Question

设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则|A|=

Answer 1

题：
设1,2,3是三阶矩阵a的特征值，则|a^2—a|=？
解：
命题3：（证明见后）
若方阵a有特征值k,
对应于特征向量ξ，当f(a)为a的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时，f(a)的有对应于ξ的特征值f(k).
依命题3，a有特征值k,
则矩阵f(a)=aa-a有特征值f(k)=kk-k
于是本题中，aa-a的特征值为
1*1-1=0,
2*2-2=2;
3*3-3=6.
命题4：对方阵a的特征多项式为f(λ)=|λe-a|，则|a|为f(λ)=0的各个根的乘积。
证：f(0)=|0*e-a|=|-a|=(-1)^n*|a|，故|a|=(-1)^n*f(0).
由一元n次方程的韦达定理，此即为各个根的乘积。
注：f(λ)=0的根，叫做方阵a的特征根，或特征值。
由命题4，|aa-a|=0
此即所求。其实算到它有一个特征值0，马上得到结果0。填空题，更要速度。
注释：以下命题1，2是为证明命题3。
命题1：k为矩阵a的非零特征值，则k的负一次幂是a逆的特征值对吗？
答：在前提a可逆之下，此命题成立。否则，视a逆为广义逆，估计也成立，我未加严格论证。
我们这里设a可逆。
命题1证明如下：
设方阵a有特征值k,
对应于特征向量ξ，即有aξ=kξ，故eξ=a^(-1)*kξ，故a^(-1)*ξ=1/k
*
ξ
命题一得证。
命题2：方阵a有特征值k,
对应于特征向量ξ，f(a)是关于a的多项式，则：
f(a)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题2之证明：设a的特征值k对应于特征向量ξ，即有aξ=kξ
故aaξ=kaξ=k*kξ，递推得
a^nξ=k^nξ
同理
f(a)ξ=f(k)ξ。得征。
依命题1，命题2，有命题3：
若方阵a有特征值k,
对应于特征向量ξ，当f(a)为a的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时，f(a)的有对应于ξ的特征值f(k).

Answer 2