Question

已知：关于x的方程kx^2-（4k+1）x+3k+3=0

（1）求证：方程有实数根；
（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0的两个实数根均为整数？

Answer 1

b²-4ac
=(4k+1)²-4k(3k+3)
=16k²+8k+1-12k²-12k
=4k²-4k+1
=(2k-1)²
∵k不是0
∴(2k-1)²>=0
∴方程有实数根
2.x1=[4k+1+2k-1]/(2k)=3
x2=(4k+1-2k+1)/(2k)=(2k+2)/(2k)=1+1/k
要得X2是整数,则1/k是整数,则有1/k=1或-1
即有K=1或-1

追问

当k=0时，方程可化为-x+3=0，解得x=3，方程不也有实数根吗

追答

因为题目中说的是方程有二个整数根,而当K=0时方程只有一个整数根.所以,当K=0时不符合.

Answer 2

（1）、k=0时，方程为一元一次方程：-x+3=0，有解x=3，
k≠0时，方程为一元二次方程，
判别式△=(4k+1)^2-4*k*(3k+3)=4k^2-4k+1=(2k-1)^2>=0，
——》方程一定有实数根，
命题得证；
（2）、kx^2-(4k+1)x+3k+3=(x-3)(kx-k-1)=0，
——》x1=3，x2=(k+1)/k，(k≠0)，
k=0时，x=3，
k=1时，x1=3、x2=2，
k=-1时，x1=3、x2=0。