Question

求积分面积

Answer 1

y=1-x^2关于y轴对称，与x交于(-1,0),
(1,0)
1.D的面积=∫(-1,1)(1-x^2)dx=(x-x^3/3)|(-1,1)=4/3
V=π∫f(x)^2dx
2.D绕x轴旋转所得旋转体的体积=2π∫(0,1)(1-y)dy=
3.D绕y轴旋转所得旋转体的体积=π∫(-1,1)(1-x^2)^2dx=π∫(-1,1)(1-2x^2+x^4)dx=

Answer 2

解1：
令：y=0，即：1-x^2=0
解得：x1=-1，x2=1
∫【x=-1→1】(1-x^2)dx
=【x=-1→1】[x-(x^3/3)]
=[1-(1^3)/3]-[(-1)-(-1)^3/3]
=2/3-(-2/3)
=4/3
D的面积是4/3。
解2：
∫【x=-1→1】[π(1-x^2)^2]dx
=∫【x=-1→1】π(1-2x^2+x^4)dx
=【x=-1→1】π[x-(2x^3)/3+(x^5)/5]
=π[1-(2×1^3)/3+(1^5)/5]-π{(-1)-[2(-1)^3]/3+[(-1)^5]/5}
=π(8/15)-π(-8/15)
=16π/15
D绕x轴旋转所得旋转体的体积是16π/15。
解3：
y=1-x^2
因为：x∈[-1，1]，所以：y∈[0，1]
x=±√(1-y)，
∫【y=0→1】(πx^2)dy
=∫【y=0→1】[π(1-y)^2]dy
=∫【y=0→1】π(1-2y+y^2)dy
=【y=0→1】π[y-y^2+(y^3)/3]
=π[1-1^2+(1^3)/3]-π[0-0^2+(0^3)/3]
=π/3
D绕y轴旋转所得旋转体的体积是π/3。