Question

求解此数学题。原理不太记得了。请详细写一下解题过程。

五根半径不同的钢管从细到粗彼此相切地摆在地面上，上面放一块木板与每根钢管都相切，若最细的钢管半径为8厘米，最粗的钢管半径为18厘米，则最中间的钢管直径为：
A. 10厘米 B. 12厘米 C. 20厘米 D. 24厘米

Answer 1

我这有个算法，你可以参考一下，若有误请见谅：

1、五根管依细粗顺序相切排列于地面，且上面的木板均相切，那说明这五个管的圆心在木板与地面所成角的角分线上；

2、连接每个圆的圆心与木板的切点，能得到五个直角三形，且都是相似的，存在等比关系；

3、求的是最中间的管的直径，选项给的四个数除以2分别为5、6、10、12，既然是中间的，这个数肯定在8和18中间，所以只有10和12附和条件；

4、由2中已知存在等比关系，分别验证8/10＝10/18和8/12＝12/18的正确性，经确认为12

5、所以答案选D，为24cm。

Answer 2

五根半径不同的钢管从细到粗彼此相切地摆在地面上，上面放一块木板与每根钢管都相切，若最细的钢管半径为8厘米，最粗的钢管半径为18厘米，则最中间的钢管直径为：
A. 10厘米 B. 12厘米 C. 20厘米 D. 24厘米
解：设五根钢管的半径依次为r₁=8，r₂，r₃，r₄，r₅=18，那么有等式：
(r₅-r₄)/(r₅+r₄)=(r₄-r₃)/(r₄+r₃)=(r₃-r₂)/(r₃+r₂)=(r₂-r₁)/(r₂+r₁)=k
(18-r₄)/(18+r₄)=k，18-r₄=18k+kr₄，(k+1)r₄=18(1-k)，故r₄=18(1-k)/(1+k)...............(1)
(r₄-r₃)/(r₄+r₃)=k，r₄-r₃=k(r₄+r₃)，(k+1)r₃=(1-k)r₄，故r₄=(1+k)/(1-k)r₃..........(2)
由(1)(2)得18(1-k)/(1+k)=(1+k)/(1-k)r₃，故r₃=18[(1-k)/(1+k)]²...........(3)；
由(r₂-8)/(r₂+8)=k，得r₂-8=k(r₂+8)，故r₂=8(1+k)/(1-k)；
由(r₃-r₂)/(r₃+r₂)=k，得r₃=[(1+k)/(1-k)]r₂=8[(1+k)/(1-k)]²................(4)
由(3)(4)得：18[(1-k)/(1+k)]²=8[(1+k)/(1-k)]².
即有3(√2)(1-k)/(1+k)=(2√2)(1+k)/(1-k)
[(1-k)/(1+k)]²=2/3，代入(3)式即得r₃=18(2/3)=12，其直径d₃=24(cm)
即最中间的管径为24cm，故应选D。
【不小心把半径18看成直径18了，现作了更正】