Question

已知函数f（x）定义域为（0，+∞）且单调递增，满足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）+f

已知函数f（x）定义域为（0，+∞）且单调递增，满足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）+f（y）
1.求f（x）的值，探究用f（x）和n表示f（x的n平方）的表达式（n∈N）
2.若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（xn）＝f（x）+f（xn-1）=2 f（x）+ f（xn-2）=n f（x）
（Ⅱ）∵f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（x-3）≤1=f（4）⇔f（x（x-3））≤f（4），
∵函数的定义域为（0，+∞），且单调递增，
∴x＞0且x−3＞0且x(x−3)≤4
解得3＜x≤4，
∴x的取值范围为（3，4]．
注：希望采纳，纯手写！

Answer 2

取x=y=1
则f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=2f(1)
0=f(1)
f(1)=0
f(x^2)=f(x)+f(x)=2f(x)
f(x^3)=f(x^2)+f(x)=3f(x)
...
故有f(x^n)=nf(x)
2.
f(x)+f(x-3)=f(x*(x-3))=<1=f(4)
f(x)单调递增，所以
x*(x-3)=<4
x²-3x-4=<0
(x-4)(x+1)=<0
-1=<x=<4
又x>0,x-3>0
所以x>3
即解是3<x=<4