Question

线性代数中，求矩阵的秩和求解线性方程组时用的是行阶梯型矩阵还是行最简型矩阵

Answer 1

都是可以的
矩阵的秩就是阶梯形矩阵的非零行的行数
行阶梯型矩阵通过初等变换化为行最简形，初等变换不改变矩阵的秩

Answer 2

可以，
不过要记住。
例如方程组
x1+2x2
+
x3
=
4
x1+
x2
+x3
=
2
增广矩阵
(a,
b)
=
[1
2
1
4]
[1
1
1
2]
行初等变换为
[1
2
1
4]
[0
-1
0
-2]
行初等变换为
[1
0
1
0]
[0
-1
0
-2]
r(a,b)
=r(a)
=
2
<
3,
方程组有无穷多解。
方程组同解变形为
x1
=
-x3
-x2
=
-2
取
x3
=
0，
得特解
(0,
2,
0)^t,
导出组即对应的齐次方程组是
x1
=
-x3
-x2
=
0
取
x3
=
1，
得基础解系
(-1,
0,
1)^t,
则原方程组的通解是
x
=
(0,
2,
0)^t+
k(-1,
0,
1)^t，
其中
k
为任意常数。