Question

设函数f(x)=sinx+cosx和g(x)=2sinxcosx.若a为实数，求函数F(x)=f

设函数f(x)=sinx+cosx和g(x)=2sinxcosx.若a为实数，求函数F(x)=f(x)+ag(x),x∈[0，π/2]的最小值

Answer 1

你好：
解：令sinx+cosx=2sin(x+π/4)=t
∵0≤x≤π/2,π/4≤x+π/4≤3π/4,
∴-√2/2≤sin(x+π/4)≤1
即-√2≤t≤2
(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=t^2
2sinxcosx=t^2-1
F(x)=t+a(t^2-1)=at^2+t-a,-√2≤t≤2
讨论a取最值
当0＜a＜√2/2时-√2＜-1/a＜0,最小值h（a）=-a
当√2/2≤a＜2时-√2≤-1/a＜-1/2,最小值h（a）=a-√2
当a≥2时，-1/2≤-1/a＜0,最小值为h(a)=3a+2
如果满意记得采纳！
求好评！
(*^__^*) 嘻嘻……

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sin加cos不是2sin

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？？？

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你公式用错了

一开始就错了

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sinx+cosx=2sin(x+π/4)=t 呵呵，这个没错好吧！
你自己搞错了吧

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是吗？？公式不是这样的。。。

我找下公式

这个公式

所以是根号二，不是二

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好吧！我错了
f(x)=sin x+cos x=√2sin（x+π/4）,因为x属于（0，π/2），所以x+π/4属于
（π/4，3π/4），那么f（x）属于(1,√2]，设f（x）=t，则t属于(1,√2]，t^2=1+2sinxcosx,所以g（x）=t^2-1则
F(X)=t+a（t^2-1） t属于(1,√2]
下面就变成一个二次函数在指定区间内的最值问题了，这个问题先按a>0,a0,a<0时分别讨论二次函数的对称轴与t所属区间的位置再进行讨论，这类型的讨论我相信在平时的其他作业中练习的比较多，我就不再重复打字了，写起来比较容易，打字和符号就有点麻烦了，请自行去完成
求好评！

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我就是最值不懂。。。

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O(∩_∩)O~

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最值不懂。。。其他网上都找到过

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画个图

不是转换成二次函数了嘛？画个二次函数图像就知道了

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这是我的弱项。。不懂得看

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嗯嗯，你认真看看吧

下面写的是对的

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哦。谢谢啦

Answer 2

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。。。要分类讨论的。。。

Answer 3

记t=f(x)=√2sin(x+π/4),
由,x∈[0，π/2]，得t∈[1，√2]
则g(x)=t^2-1
所以F(x)=t+a(t^2-1)=at^2+t-a
讨论a:
1)当a=0时，F(x)=t,
其最小值为t=1时取得，F(x)=1;
2)当a>0,F(x)=a(t+1/(2a))^2-a-1/(4a),开口向上，对称轴为x=-1/(2a)<0.最小值为当t=1时取得，为F(x)=a+1-a=1
3)当a<0,开口向下，对称轴x=-1/(2a)>0,
若a<1-√2,
则对称轴更靠近√2,最小值当t=√2时取得，为F(x)=a+√2;
若1-√2<a<0,
则对称轴更靠近1,最小值当t=1时取得，为F(x)=1;