线性代数:为什么这个矩阵可以对角化

矩阵对角化,前提是不是特征值不能有相同的吗?否则特征向量有相同的,特征向量矩阵就不可逆了,没法对角化。那么,单位矩阵E呢?特征方程|E-LamdaE|=0,两个解都是1,... 矩阵对角化,前提是不是特征值不能有相同的吗?否则特征向量有相同的,特征向量矩阵就不可逆了,没法对角化。 那么,单位矩阵E呢?特征方程|E-LamdaE|=0,两个解都是1,也就是特征值有两个1,然后求解其次线性方程组(E-LamdaE)x=0的解,发现0=0,任意解。 也就是E可以被任意可逆矩阵P得到P(-1)E(P)=E,结论是显然的。 问题是:为什么E的特征值有重复,特征向量解不出任意解,仍然是一个"可被对角化"的矩阵?这个和我的第一话有冲突,那么第一句话是错的?还是E就是一个例外? 谢谢! 展开
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梁听度拔
2020-04-21 · TA获得超过3664个赞
知道大有可为答主
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矩阵对角化,前提是不是特征值不能有相同的吗?否则特征向量有相同的,特征向量矩阵就不可逆了,没法对角化。
答:你的这种说法错误!不是说特征值相同就不能对角化,而是:
定理:如果矩阵有n个线性无关的特征向量,则矩阵可对角化
也就是说:只要重特征值有重根数的线性无关向量,那么特也可以对角化(不同特征值,对应的特征项向量一定线性无关)
那么,单位矩阵E呢?特征方程|E-LamdaE|=0,两个解都是1,也就是特征值有两个1,然后求解其次线性方程组(E-LamdaE)x=0的解,发现0=0,任意解。
也就是E可以被任意可逆矩阵P得到P(-1)E(P)=E,结论是显然的。
问题是:为什么E的特征值有重复,特征向量解不出任意解,仍然是一个"可被对角化"的矩阵?这个和我的第一话有冲突,那么第一句话是错的?还是E就是一个例外?

因为E的特征值为1,而(E-LamdaE)x=0的解,有n个线性无关的解,即有n个线性无关的特征向量,那么就可以对角化,而不是什么特例的说法!
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