Question

设非齐次线性方程组x1+2x2+3x3+4x4=5,x1+x2+x3+x4=1,求方程组的通解,求其导出组基础解系

Answer 1

增广矩阵 （A，b）=
[1 2 3 4 5]
[1 1 1 1 1]
行初等变换为
[1 1 1 1 1]
[0 1 2 3 4]
方程组同解变形为
x1+x2=1-x3-x4
x2=4-2x3-3x4
取 x3=x4=0, 得特解 (-3, 4, 0, 0)^T,
导出组即对应的齐次方程是
x1+x2=-x3-x4
x2=-2x3-3x4
取 x3=1，x4=0, 得基础解系 (1, -2, 1, 0)^T,
取 x3=0，x4=1, 得基础解系 (2, -3, 0, 1)^T,
原方程组的通解是
x=(-3, 4, 0, 0)^T+k(1, -2, 1, 0)^T+c(2, -3, 0, 1)^T.
其中 k，c 为任意常数。