Question

怎样证明任意两个有理数之间有无穷多个无理数

Answer 1

证明一个数小数点后有无穷个数即可。

以下是无理数的相关介绍：

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。 

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

以上资料参考百度百科——无理数

Answer 2

证明:
1)
往证(a,b)之间包含一个有理数c.
令x=b-a>0
根据实数定义的阿基米德公理,存在一个整数n>1/x,所以x>1/n.
不妨设b>0,(否则考虑区间(-b,-a),其中-a>0)
则存在整数k>0,
使得b小于或等于k/n,设h是满足b小于或者等于h/n的最小整数.
则(h-1)/n<b,我们断言(h-1)/n>a(否则1/n大于或等于(b-a),与n的定义矛盾)
所以,(h-1)/n为(a,b)内的有理数.
注:由于(a,b)之间包含一个有理数c,则(a,c)之间也包含一个有理数d,依次类推,(a,b)之间包含无穷
个有理数.
2)
往证(a,b)之间包含无穷个无理数.
大家知道有理数集是可数的,而(a,b)是不可数的,所以(a,b)内的无理数集肯定是不可数的
也即有无穷多个.
证毕.

Answer 3

证明：
　　设α，β∈r，且α<β。由阿基米德性，必存在自然数n，使得n(β-α)>1，即β-α>(1/n)
　　任意取定有理数γ(0)
0，a-γ(0)》0，故由阿基米德性，存在m∈n，使得γ(0)+(m/n)>α.可见，数列{γ(0)+(m/n)}中总有一项大于a.
　　设
γ(0)+(n(0)/n)
为此数列第一个大于α的项，于是γ(0)+(n(0)-1)/n
≤
α，故
　　γ(0)+(n(0)/n)-β≤a-(n(0)-1)/n+(n(0)/n)-β
　　=a+(1/n)-β
　　<0
　　即
α<
γ(0)+(n(0)/n)<β，而
γ(0)+(n(0)/n)显然为有理数，即证。
　　类似可以证明：任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有：任意两个不相等的实数之间必有一个实数。