Question

求微分方程y'+y/x=e^x满足初始条件y（1）=0的特解，要过程，谢谢。

Answer 1

微分方程y'+y/x=e^x满足初始条件y（1）=0的特解：一阶线性微分方程，直接套公式。显然P=1/x，Q=e^x，那么：∫Pdx=lnx，-∫Pdx=-lnx。

∫Q[e^(lnx)]dx=∫x(e^x)dx=(x-1)(e^x)得到方程的通解：y=[e^(-lnx)][(x-1)(e^x)+C]=[1-(1/x)](e^x)+(C/x)…………C为任意常数。代入y(1)=0，得到：0=0+C所以C=0方程的特解为：y=[1-(1/x)](e^x)。

条件分析

微分方程初值条件是题目给出的数据，边界值条件给出的范围。微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

Answer 2

一阶线性微分方程，直接套公式。显然P=1/x，Q=e^x，那么：
∫Pdx=lnx
-∫Pdx=-lnx
∫Q[e^(lnx)]dx=∫x(e^x)dx=(x-1)(e^x)
得到方程的通解：
y=[e^(-lnx)][(x-1)(e^x)+C]=[1-(1/x)](e^x)+(C/x)…………C为任意常数
代入y(1)=0，得到：
0=0+C
所以C=0
方程的特解为：y=[1-(1/x)](e^x)