Question

z=f(x,x/y),求∂²z/∂x²,∂²z/∂x∂y

Answer 1

z=f(x,x/y),x与y无关
因此,
z'x
=f'1*(x)'+f'2*(x/y)'
=f'1+f'2/y
z''xy
=(z'x)'y
=(f'1+f'2/y)'y
=f''11(x)'+f''12*(x/y)'+(f'2/y)'
=-xf''12/y^2
+
(-f'2/y^2+(f''21*(x)'+f''22*(x/y)')/y)
=(-x/y^2)f''12-(1/y^2)f'2-(x/y^3)f''22
其中,z'x,z'y表示z分别对x,y求偏导,f'1,f'2表示f
分别对第一个位置和第二个位置求导,
f''11,f''12,f''21,f''22分别表示f'1对第一和第二位置,以及f'2对第一和第二位置求导

Answer 2

记：u=xy^2
v=x^2y
z=f(u,v)
求：∂²z/∂x²,
∂²z/∂y²,
∂²z/∂x∂y
∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=(∂f/∂u)y^2+2xy(∂f/∂v)
(1)
∂²z/∂x²=y^2{(∂²f/∂u²)(∂u/∂x)+(∂²f/∂u∂v)(∂v/∂x)}+2y(∂f/∂v)+2xy{(∂²f/∂u∂v)(∂u/∂x)+(∂²f/∂v²)
(∂v/∂x)}=y^2{y^2f''uu
+
2xyf''uv}+2yf'v+2xy{y^2f''uv+2xyf''vv}
=
y^4f''uu+4xy^3f''uv+4x^2y^2f''vv+2yf'v
∂²z/∂y²=x^4f''vv+4x^3yf''uv+4x^2y^2f''uu+2xf'u
∂²z/∂x∂y
(1)式对y求导即可.此外：f''uv表示：∂²f/∂u∂v,其它类同。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示