Question

常见的几种求值域的方法

Answer 1

一般求函数的值域常有如下方法：
（1）利用函数性质求解析式
也就是根据题目条件的定义域和值域的范围，确定解析式的形式，这种方法常用于解决分段函数的问题。
（2）配方法、换元法
对于形如
y
=
ax
+
b
+
√(cx
+
d)
的函数，可以用换元法；
对于含√(a^2
-
x^2)结构的函数，可利用三角代换，转化为三角函数求值域。
（3）反函数法、判别式法
对于形如
y
=
(cx
+
d)/(ax
+
b)
的函数值域可用反函数法，也可用配凑法；
对于形如
y
=
(ax^2
+
bx
+
c)/(dx^2
+
ex
+
f)
的函数值域常用判别式法，把函数转化成关于
x
的二次方程
f(x,y)
=
0
，通过方程有实根，判别式
△≥
0
,从而得到原函数的值域。但注意要讨论二次项系数为零和非零的两种情况。
（4）不等式法、单调性法
利用基本不等式
a
+
b
≥
2√ab
求值域，注意“一正、二定、三取等”。即：a>0,b>0；a+b(或ab)为定值；取等号的条件。
对于形如
y
=
ax
+
b
+
√(cx
+
d)
的函数，看
a
与
d
是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域。
（5）数形结合法
这个就不用我多说了吧，把已知问题转化为图像求最值或者范围的问题，灵活利用平面或空间几何学的性质，帮助求解。
（6）导数法
这个是最保险的，但是往往运算起来会比较麻烦。
（7）抽象函数问题
根据题目所给条件对问题进行转化，化繁为简。