Question

曲线与方程中求轨迹方程有哪几种方法?

Answer 1

直接法
由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。
例1
已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得
。
（1）当x≤3时，方程变为
，化简得
。
（2）当x>3时，方程变为
，化简得
。
故所求的点P的轨迹方程是
或
。
二、定义法
由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，这种方法叫做定义法。
例2
已知圆
的圆心为M1，圆
的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：
，
。
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为
。
三、待定系数法
由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。
例3
已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（
，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为
。将y=x－1代入方程整理得
。
由韦达定理得
。又有
，联立方程组，解得
。
∴此双曲线的方程为
。
四、参数法
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得到动点轨迹的参数方程，再消去参数，从而得到动点轨迹的普通方程，这种方法叫做参数法。
例4
过原点作直线l和抛物线
交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程
，得
。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得
。
设A（
），B（
），M（x，y），由韦达定理得
。
由
消去k得
。
又
，所以
。
∴点M的轨迹方程为
我只有这四种，应付高中数学足够了
不懂得可以问我

Answer 2

有些轨迹方程可以直接用定义判定：如椭圆，双曲线等等；
有些可以根据几何关系来求；
还有些需要结合题意来解（通过方程组和题目中的已知条件）；
本题解答如下：
设M（a,b)，N（x,y)；
由“点M在线段NA的延长线上，且MA=2AN”得到N为AM的中点；
所以
x=(a+1)/2,
y=(b+1)/2;
故
a=2x-1,b=2y-1;
又
M（2x-1,2y-1)在圆上；
（2X-4）（2X-4)+(2Y-4)(2Y-4)=4；
即（x-2）^2+(y-2)^2=1;
￥￥￥有些题目还得注意x,y的取值范围；