Question

已知数列{an}中a1=1,a2=2,且a(n+1)=(1+q)an-q*a(n-1)，（n≥2,q≠0）。

已知数列{an}中a1=1,a2=2,且a(n+1)=(1+q)an-q*a(n-1)，（n≥2,q≠0）。 （1）设bn=a(n+1)-an(n∈N*），证明{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是a(n+3)与a(n+6)的等差中项。

Answer 1

（1）因为a(n+1)=(1+q)an-q*a(n-1)，所以有a(n+1)-an=qan-q*a(n-1)，又因为bn=a(n+1)-an(n∈N*），所以有bn=q*b(n-1)，即bn/b(n-1)=q，(n∈N*），所以{bn}是等比数列； （2)因为bn=a(n+1)-an(n∈N*），所以b1=a2-a1=1，所以bn=q^(n-1)，即a(n+1)-an=q^(n-1)，(n∈N*），所以有：an-a(n-1)=q^(n-2)，a(n-1)-a(n-2)=q^(n-3)，a(n-2)-a(n-3)=q^(n-4)，…，a2-a1=1，将上述式子相加得：an-a1=q^(n-2)+q^(n-3)+q^(n-4)+…+1，当q=1时，an=n，当an≠1时，所以an-a1=[1-q^(n-1)]/(1-q)，所以an=a1+[1-q^(n-1)]/(1-q)，即an=1+[1-q^(n-1)]/(1-q)， （3）当q=1时，有a3=3，a6=6，a9=9，所以a3不是a6与a9的等差中项，当q≠1时，根据（2)可知a3=1+[1-q)]/(1-q)，a6=1+[1-q^6]/(1-q)，a9=1+[1-q^9]/(1-q)，又因为a3是a6与a9的等差中项，所以1+[1-q^6]/(1-q)+1+[1-q^9]/(1-q)=2[1+(1-q)/(1-q)}，即1-q^6+1-q^9=2-2q，即q^9+q^6-2q=0，因为q≠0，所以q^6+q^3-2=0，令q=t，所以方程变形为t+t-2=0，解得：t=1（舍去）或者t=-2，即q=-2，所以q=-√2