Question

二重积分对称区域上奇偶函数的积分性质中关于X轴，Y轴和原点对称的疑问?

积分区域D关于原点对称， 1、∫∫f(x,y)dxdy(在区域D上积分)=0(当f关于x,y的奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时) 2、∫∫f(x,y)dxdy(在区域D上积分)=2∫∫f(x,y)dxdy(在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分)，(当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时) 现假设区域D为X²+Y²=1，f(x,y)=XY。 首先，区域D关于X轴对称，f(x,y)对Y是奇函数，那么∫∫f(x,y)dxdy=0: 或者，区域D关于Y轴对称，f(x,y)对X是奇函数，那么∫∫f(x,y)dxdy=0: 但是，区域D关于原点对称，f(x,y)是关于x,y的偶函数，那么 ∫∫f(x,y)dxdy(在区域D上积分)=2∫∫f(x,y)dxdy(在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分);结果不是0. 请问上述问题该如何解释?

Answer 1

结果也是0，因为:
【∫∫f(x,y)dxdy(在区域D上积分)=2∫∫f(x,y)dxdy(在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分);】
这里面的2∫∫f(x,y)dxdy(在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分)本身就等于0，因为f(x,y)是奇函数