Question

设函数F(x)连续,且f'(0)>0,则存在δ>0,使得 对任意x属于(0,δ) f(x)>f0？

有点不理解 如果对于分段函数 fx ：x ，x＝0 0，x≠0 对于这个函数来说 符合题目条件 但不是和答案相背了吗

Answer 1

我觉得可以这样直观的理解，反例：想想一个从x=0(y=0)往右的连续的锯齿状且有一点上升趋势的连续的函数(其中f(x)/x在x无限靠近0时大于零，这就是题干中0处导数大于零的条件)，很显然这时候其导函数不连续（忽正忽负），这样就导致在这个正邻域内，不是单增函数，但是该领域内任意一点的值都比0处的值大。
但如果加上f'(x)连续的条件，则导数值不可能忽正忽负，反应到原函数上增减性都是渐变的过程，因此，都能找得到一个很小的邻域内单调递增。

Answer 2

结合导数的定义去理解吧, 你举的例子是f(x)=0, 不满足题目条件的

追问

怎么不满足了 难道不是连续函数吗 0的倒数1也是大于0的

我举的是分段函数呀 在0点他的函数是x 在其他点就是常数0 只是数值和 0一样

Answer 3

δ足够小，
使得 x-> 0
则，
lim x->0 f(x) = f(0) ，因为题设给了 fx 连续，
所以我也觉得 c 选项少了一个等号