Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，分别以ABCD为圆心。a为半径画弧，相互交于EFGH.求橘红色部分的周长

Answer 1

以前回答过： http://zhidao.baidu.com/question/133934310.html 假设E 离 A、B 较近，F 离 B、C 较近，G 离 C、D 较近，H 离 A、D 较近。则：连接 AF、AG，则有 ∠FAD = ∠GAB = 60°。∴∠FAG = ∠FAD + ∠GAB - ∠DAB = 60° + 60°+ 90° = 30° {① ∴弧FG = 2aπ * 30°/ 360° = aπ/6 同理 弧EF = 弧FG = 弧GH = 弧HE = aπ/6 ∴相交部分周长为 4aπ/6 = 2aπ/3 } {② ∴扇形AFG面积 S1 = πaa * 30°/ 360°= πaa/12 设正方形中心点为 O ，连接 OA、OF，延长 OF，交 AD 于 P 则有： FP ⊥ AD，AP = a/2 又∵ AF = a ∴根据勾股定理，FP = (a/2)*√3 ∴OF = PF - OP = (a/2)*√3 - a/2 = a/2 * (- 1 + √3) ∴S△AOF = OF * AP / 2 = aa/8 * (- 1 + √3) 同理 S△AOG = S△AOF 设 OF、OG、弧FG 围成图形的面积为 S2，则： S2 = S1 - S△AOF - S△AOG = S1 - 2 * S△AOF = πaa/12 - 2 * aa/8 * (- 1 + √3) = aa/4 * (π/3 + 1 - √3) 由题意知，四条弧相交部分面积 = 4 * S2 = aa * (π/3 + 1 - √3) }