Question

？？？设函数f(x)=x+a/x+1,x∈[0+∞). (1)当a=2时，求函数f(x)的最小值

？？？设函数f(x)=x+a/x+1,x∈[0+∞). (1)当a=2时，求函数f(x)的最小值 (2)当0＜ a＜1时，求函数的最小值

Answer 1

(1)a＝2时，
f(x)＝x+a/(x+1)
＝(x+1)+2/(x+1)-1
≥2√[(x+1)·2/(x+1)]-1
＝2√2-1.
∴x+1＝2/(x+1)→x＝√2-1时，
所求最小值为：f(x)|min＝2√2-1.

(2)当0<a<1时，
f(x)＝x+a/(x+1)
＝(x+1)+a/(x+1)-1
≥2√[(x+1)·a/(x+1)]-1
＝2√a-1.
即所求最小值为2√a-1.
此时，x+1＝a/(x+1)→x＝√a-1.
但是, x∈[0,+∞),则
√a-1≥0,即a≥1,这与0<a<1相矛盾！
故0<a<1时，原式无最小值。