Question

设(x,y)在区域d={(x,y)｜x≥0，y≥0，x+y≤1}上服从均匀分布，求EX

Answer 1

分享解法如下。∵D={(x,y)x≥0，y≥0，x+y≤1}，∴(X,Y)所围成区域的面积SD=1/2。由二维均匀分布的定义，f(x,y)=1/SD=2,(x,y)∈D，f(x,y)=0,(x,y)∉D。
∴E(X)=∫(0,1)dx∫(0,1-x)xf(x,y)dy=2∫(0,1)(1-x)xdx=…=1/3。同理，E(Y)=∫(0,1)dy∫(0,1-y)yf(x,y)dx=1/3。∴E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=1/3。
E(XY)=∫(0,1)dx∫(0,1-x)xyf(x,y)dy=∫(0,1)(1-x)²xdx=…=1/12。
供参考。