Question

高中数学不等式求证

已知x,y,z∈(2,4) 求证 1/根号下(x-2)(4-y) +1/根号下(y-2)(4-z)+1/根号下(z-2)(4-x)大于等于3

Answer 1

证明：∵x,y,z∈(2,4)
∴x-2>0,y-2>0,z-2>0;4-y>0,4-z>0,4-x>0;
∴√(x-2)(4-y)+1/√(x-2)(4-y)≥2;
√(y-2)(4-z)+1/√(y-2)(4-z)≥2;√(z-2)(4-x)+1/√(z-2)(4-x)≥2
以上三式相加得√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)+1/√(x-2)(4-y)+1/√(y-2)(4-z)+1/√(z-2)(4-x)≥6
即：1/√(x-2)(4-y)+1/√(y-2)(4-z)+1/√(z-2)(4-x)≥6-[√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)]
∵√(x-2)(4-y)≤[(x-2)+(4-y)]/2=(x-y+2)/2;
同理：√(y-2)(4-z)≤(y-z+2)/2;√(z-2)(4-x)≤(z-x+2)/2
∴√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)≤(x-y+2)/2+(y-z+2)/2+(z-x+2)/2=3
则：-[√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)]≥-3;
6-[√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)]≥6-3=3
所以原不等式成立！