Question

已知正三棱锥P-ABC的体积为 72 3 ，侧面与底面所成的二面角的大小为60°．（1）证明：PA⊥B

已知正三棱锥P-ABC的体积为 72 3 ，侧面与底面所成的二面角的大小为60°．（1）证明：PA⊥BC；（2）求底面中心O到侧面的距离．

Answer 1

（1）证明：取BC边的中点D，连接AD、PD， 则AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD．∴PA⊥BC． （2）如图，由（1）可知平面PBC⊥平面APD， 则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角． 过点O作OE⊥PD，?E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离． 设OE为h，由题意可知点O在AD上， ∴∠PDO=60°，OP=2h． ∵ ?OD= 2h 3 ，?∴?BC=4h ， ∴ S △ABC = 3 4 (4h ) 2 =4 3 h 2 ， ∵ 72 3 = 1 3 ?4 3 h 2 ?2h= 8 3 3 h 3 ，∴h=3． 即底面中心O到侧面的距离为3．