Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内具有单调性；②存在区间[a，b]?D，使f

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内具有单调性；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么称y=f（x）（x∈D）为闭函数．（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数f（x）=35x+2x（x＞0）是否为闭函数？并说明理由；（3）若函数y=k+x+1是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（0）＞f（1）且f（x）为闭函数
∴f（x）=-x³在R上单调减，…（1分）
∴

f(a)＝b f(b)＝a a＜b

即

?a3＝b ?b3＝a a＜b

a＝?1 b＝1

…（4分）
∴符合条件的闭区间为[-1，1]…（5分）
（2）解：函数f（x）=

3

5

x+

2

x

，所以函数f′（x）=

3

5

?

2

x2

，显然导函数有两个零点，一个大于0，所以函数在（0，+∞）上不是单调函数，不满足闭函数的定义．  …（10分）
（3）解：∵f（x）是闭函数且在[a，b]上单调增
∴

k+ a+1 ＝a k+ b+1 ＝b

∴a，b是方程k+

x+1

＝x的两个不等实根…（12分）
令t＝

x+1

∴t²-t-k-1=0在[0，+∞）上有两个不相等实根
∴

△＝1+4k+1＞0 1 2 ＞0 ?k?1≥0

…（15分）
∴?

5

4

＜k≤?1…（16分）