Question

已知点A（-2，0），B（2，0），∠APB=135°．（1）求点P的轨迹方程；（2）点C（2，4），在（1）的轨迹上

已知点A（-2，0），B（2，0），∠APB=135°．（1）求点P的轨迹方程；（2）点C（2，4），在（1）的轨迹上求一点M，使得|CM|最小，并求其最小值．

Answer 1

（1）∵A（-2，0），B（2，0），
∴|AB|=4，在△ABP中，由

|AB|

sin∠APB

＝

4

2 2

＝4

2

，可知点P在过点A、B且直径为4

2

的圆上，
点P的轨迹为以AB为弦的劣弧（除A、B两点）．
且圆的圆心在y轴上，分别为（0，2）和（0，-2），
从而点P的轨迹方程为：x2+(y?2)2＝8(2?2

2

≤y＜0)或x2+(y+2)2＝8(0＜y≤2+2

2

)；
（2）如图，

由图可知，使得|CM|最小的点M在x2+(y+2)2＝8(0＜y≤2+2

2

)上，
而圆x2+(y+2)2＝8(0＜y≤2+2

2

)的圆心为（0，-2），
C（2，4）到圆心的距离为

(2?0)2+(4+2)2

＝2

10

．
圆的半径为2

2

，此时|FM|的最小值为2

10

?2

2

．
圆心与C的连线所在的方程为

y+2

4+2

＝

x?0

2?0

，即y=3x-2．
联立

y＝3x?2 x2+(y+2)2＝8

，解得

x＝ 2 5 5 y＝ 6 5 ?10 5

．
∴M（

2 5

5

，

6 5 ?10

5

）．