Question

已知函数f(x)＝13x3+12(b?1)x2+cx（b、c为常数）．（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求b，c的值；（

已知函数f(x)＝13x3+12(b?1)x2+cx（b、c为常数）．（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求b，c的值；（2）若f（x）在（-∞，x1）、（x2，+∞）上单调递增，且在（x1，x2）上单调递减，又满足x2-x1＞1．求证：b2＞2（b+2c）．

Answer 1

（1）∵函数f(x)＝

1

3

x3+

1

2

(b?1)x2+cx（b、c为常数），
∴f'（x）=x²+（b-1）x+c
据题意知1、3是方程x²+（b-1）x+c=0的两根，
∴1-b=1+3=4，c=1×3=3，
即b=-3，c=3
（2）由题意知，当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0
∴x1，x2是方程x2+(b?1)x+c＝0的两根
则x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c
∴b=1-（x₁+x₂），c=x₁x₂
∴b²-2（b+2c）=b²-2b-4c=[1?(x1+x2)]2?2[1?(x1+x2)]?4x1x2=(x2?x1)2?1
∵x₂-x₁＞1，
∴(x2?x1)2?1＞0，
∴b²＞2（b+2c）