![](https://iknow-base.cdn.bcebos.com/lxb/notice.png)
设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且f″(x)≠0,试证:(1)对于(-1,1)内的任一x≠0,存在惟一
设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且f″(x)≠0,试证:(1)对于(-1,1)内的任一x≠0,存在惟一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′(θ(...
设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且f″(x)≠0,试证:(1)对于(-1,1)内的任一x≠0,存在惟一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立;(2)limx→0θ(x)=12.
展开
展开全部
解答:证:(1)由拉格朗日中值定理,?x∈(-1,1)且x≠0,?θ∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)(θ与x有关);
又由f''(x)连续而f''(x)≠0,
∴f″(x)在(1,-1)不变号,
∴f′(x)在(1,-1)严格单调的,
∴满足f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)的θ唯一.
(2)由题意,根据泰勒公式有:
f(x)=f(0)+xf′(0)+
f″(0)+o(x2)
又由第一问:f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)
∴[f′(θ(x)x)?f′(0)]x=
f″(0)+o(x2)
上式两边同时除以x2,再令x→0,得:
=
[
f″(0)+
]
即:
[
?
]=f″(0)
θ(x)=
f″(0)
∴
θ(x)=
又由f''(x)连续而f''(x)≠0,
∴f″(x)在(1,-1)不变号,
∴f′(x)在(1,-1)严格单调的,
∴满足f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)的θ唯一.
(2)由题意,根据泰勒公式有:
f(x)=f(0)+xf′(0)+
x2 |
2 |
又由第一问:f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)
∴[f′(θ(x)x)?f′(0)]x=
1 |
2 |
上式两边同时除以x2,再令x→0,得:
lim |
x→0 |
f′(θ(x)x)?f′(0) |
x |
lim |
x→0 |
1 |
2 |
o(x2) |
x |
即:
lim |
x→0 |
f′(θ(x)x)?f′(0) |
θ(x)x |
θ(x)x |
x |
lim |
x→0 |
1 |
2 |
∴
lim |
x→0 |
1 |
2 |
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询