Question

已知函数f（x）=2x-a2x+1为奇函数．（1）求a的值；（2）证明：f（x）...

已知函数f（x）=2x-a2x+1为奇函数． （1）求a的值； （2）证明：f（x）是R上的增函数； （3）解不等式：f（log2x）≤35．

Answer 1

（1）解：f（x）的定义域为R．
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，∴a=1．
（2）证明：易得f（x）=1-
2
2x+1
．
设x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=
2
2x2+1
-
2
2x1+1
=
2(2x1-2x2)
(2x2+1)(2x1+1)
．
∵2x1＜2x2，
∴f（x1）-f（x2）＜0．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）为R上的增函数．
（3）令f（x）=
3
5
，解得x=2．
∴f（log2x）≤
3
5
即f（log2x）≤f（2）．
∵f（x）为R上的增函数，
∴log2x≤2．
∴0＜x≤4．