Question

高中数学集合二次函数问题？

已知A={x|x²+mx+1=0，x∈R}，
B={x|8x²+x+m=0，x∈R}
若A∩B=Φ，求实数m的取值范围。

Answer 1

这个要用反证法，因为当m确定为一个值时，每个集合最多也就是两个解，那么只要这两个解不同，他们的交集也是空集。
我们假设存在一个实数a，使得两个方程分别成立，那么就有a²+ma+1=0和8a²+a+m=0
那么就可以得到m=-8a²-a，将其带入前一个方程，化简得到-8a^3+1=0
得到a=1/2
那么就得到m=-5/2
也就是说只有在m=-5/2时，A∩B=1/2，其他时候A∩B=Φ，所以只要m≠-5/2即可。

Answer 2

A∩B非空，等价于方程组
x²+mx+1=0，①
8x²+x+m=0，m=-8x^2-x.②有实数解。
把②代入①，得x^2-8x^3-x^2+1=0,
x^3=1/8,x=1/2,
代入②，得m=-5/2.
所以本题实数m的取值范围是{m|m∈R,m≠-5/2}.

Answer 3

由①得-m=x+1/x∴-m≤-1或-m≥1
即m≤-1或m≥1
由②得-m=8x²+x=8(x+1/16)²-1/32
∴-m≥-1/32即m＜1/32
x+1/x=8x²+x
8x³=1即x=1/2
-m=2+1/2=5/2
m=-5/2
A∩B≠φ时，m=-5/2
∴A∩B=φ时，m≠-5/2
∴m的范围是
（-∞，-5/2）∪（-5/2，+∞）

追问

随便一个m=-2，A的集合x=1，B的集合是两个无理数，同样A∩B=空集