Question

已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n项和，且满足S 2 =4，S 5 =25，数列{b n }满足b n = 1 a

已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n项和，且满足S 2 =4，S 5 =25，数列{b n }满足b n = 1 a n - a n+1 ，T n 为数列{b n }的前n项和．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对任意的n∈N * ，不等式λT n ＜n+8?（-1） n 恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T 1 ，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设数列的首项为a 1 ，公差为d，则 ∵S 2 =4，S 5 =25， ∴ 2 a 1 +d=4 5 a 1 +10d=25 ∴a 1 =1，d=2 ∴a n =2n-1； （2）①当n为偶数时，要使不等式λT n ＜n+8?（-1） n 恒成立，即需不等式λ＜ 2n+ 8 n +17 恒成立． ∵ 2n+ 8 n ≥8 ，等号在n=2时取得．  ∴此时λ需满足λ＜25． ②当n为奇数时，要使不等式λT n ＜n+8?（-1） n 恒成立， 即需不等式λ＜ 2n- 8 n -15恒成立． ∵ 2n- 8 n 是随n的增大而增大，∴n=1时， 2n- 8 n 取得最小值-6． ∴此时λ需满足λ＜-21． 综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． （3） T 1 = 1 3 ， T m = m 2m+1 ， T n = n 2n+1 ， 若T 1 ，T m ，T n 成等比数列，则 ( m 2m+1 ) 2 = 1 3 ? n 2n+1 ，即 m 2 4 m 2 +4m+1 = n 6n+3 ．…12分 ∴ 3 n = -2 m 2 +4m+1 m 2 ＞0 ， 即-2m 2 +4m+1＞0，------------------------14分 ∴ 1- 6 2 ＜m＜1+ 6 2 ． 又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12． 因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T n }中的T 1 ，T m ，T n 成等比数列．--------16分