Question

已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且 1 a+b + 1 b+c + 1 c+a = 14 17

已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且 1 a+b + 1 b+c + 1 c+a = 14 17 ，则 a b+c + b c+a + c a+b 的值是______．

Answer 1

解∵a+b+c=10， ∴a=10-（b+c），b=10-（a+c），c=10-（a+b）， ∴ a b+c + b c+a + c a+b = 10 b+c - b+c b+c + 10 c+a - c+a c+a + 10 a+b - a+b a+b = 10 b+c -1+ 10 c+a -1+ 10 a+b -1 = 10 b+c + 10 c+a + 10 a+b -3， ∵ 1 a+b + 1 b+c + 1 c+a = 14 17 ， ∴原式= 14 17 ×10-3= 140 17 -3= 89 17 ． 故填： 89 17 ．