Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x 3 +ax 2 -x+2（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（- 1 3 ，1）

已知f（x）=xlnx，g（x）=x 3 +ax 2 -x+2（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（- 1 3 ，1），求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）g′（x）=3x 2 +2ax-1 由题意3x 2 +2ax-1＞0的解集是（- 1 3 ，1），即3x 2 +2ax-1=0的两根分别是- 1 3 ，1 将x=1或- 1 3 代入方程3x 2 +2ax-1=0得a=-1， ∴g（x）=x 3 -x 2 -x+2 （Ⅱ）由题意知，2xlnx≤3x 2 +2ax-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立 即a≥lnx- 3 2 x- 1 2x ， 设h（x）=lnx- 3 2 x- 1 2x ，则 h′(x)= 1 x - 3 2 + 1 2 x 2 =- (3x+1)(x-1) 2 x 2 令h′（x）=0，得x=1，x=- 1 3 （舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0 ∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x） max =-2，． ∴a≥-2，即a的取值范围是[-2，+∞）．