Question

已知函数f（x）=x3-3x2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值和函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若方

已知函数f（x）=x3-3x2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值和函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若方程f(x)＝32x2?15x+3恰有三个不同的解，求b的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得f′（x）=3x²-6x+a，
∵在x=-1处的切线与x轴平行
∴f′（-1）=0，解得a=-9．
这时f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；
由f′（x）＜0，解-1＜x＜3．
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1）∪（3，+∞）；单调减区间为（-1，3）．
（2）令g（x）=f（x）-（

3

2

x²-15x+3）=x³-

9

2

x²+6x+b-3
则原题意等价于g（x）图象与x轴有三个交点
∵g′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）
∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；
由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．
∴g（x）在x=1时取得极大值g（1）=b-

1

2

；g（x）在x=2时取得极小值g（2）=b-1．
依题意得

b? 1 2 ＞0 b?1＜0

，解得

1

2

＜b＜1．
故b的取值范围为（

1

2

，1）