Question

如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．（Ⅰ）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（

如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．（Ⅰ）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（Ⅱ）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．

Answer 1

（1）当CD²=AC?DB时，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD²=AC?DB，由PC=PD=CD可得：PC?PD=AC?DB，
即

PC

BD

＝

AC

PD

，
则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB；
（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度数为120°．