Question

设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随

设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差．

Answer 1

由已知可得，三角形区域为G={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}，
随机变量X和Y的联合密度为：
f（x，y）=

2， 若(x，y)∈G 0 ，若(x，y)?G

以f₁（x）表示X的概率密度，则当x≤0或x≥1时，
f₁（x）=0，当0＜x＜1时，有
f₁（x）=

∫

+∞ ?∞

f(x，y)dy=

∫

1 1?x

2dy=2x
因此：EX=

∫

1 0

2x2dx=

2

3

EX²=

∫

1 0

2x3dx=

1

2

DX=EX²-[EX]²=

1

2

?

4

9

=

1

18

同理可得：
EY=

2

3

，DY=

1

18

下面求X和Y的协方差
EXY=

?

G

2xydxdy=2

∫

1 0

xdx

∫

1 1?x

ydy=

5

12

Cov（X，Y）=EXY-EXEY=

5

12

?

4

9

=-

1

36

于是
DU=D（X+Y）=DX+DY+2Cov（X，Y）=

1

18

+

1

18

-

2

36

=

1

18

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示