Question

设二维连续型随机变量(X , Y ) 在以点(0,1) 、 (1,0) 、 (1,1) 为顶点的三角形区域上服从均匀分布？

试求随机变量U= X+ Y 的方差。需要详细求解过程，清晰可辨别。

Answer 1

分享一种解法。由题设条件，(X,Y)所在区域D={(x,y)丨0<x<1、1-x<y<1}。其面积SD=1/2。
按照二维均匀分布的定义，(X,Y)的联合分布密度f(x,y)=1/SD=2，(x,y)∈D、f(x,y)=0，(x,y)∉D。

又，X、Y的边缘分布密度函数分别为，fX(x)=∫(1-x,1)f(x,y)dy=2x，0<x<1；fX(x)=0，x为其它。fY(y)=∫(1-y,1)f(x,y)dx=2y，0<y<1；fY(y=0，y为其它。
∴E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=2/3，E(X²)=∫(0,1)x²fX(x)dx=1/2。∴D(X)=1/2-(2/3)²=1/18。同理，E(Y)=2/3，E(Y²)=1/2。∴D(Y)=1/18。
而，E(XY)=∫(0,1)dx∫(1-x,1)xyf(x,y)=∫(0,1)x(2x-x²)dx=5/12。∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/36。
∴D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1/18。
供参考。

追问

还有一题会吗，老铁

追答

是不是图片上的第3题啊？

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示