Question

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n...

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）． （I）证明数列{an+an+1}是等比数列； （II）求a1+a2+…an（n∈N*）

Answer 1

解：（I）证明：因为an+1=2an+3an-1，所以an+1+an=3（an+an-1），
所以an+1+anan+an-1=3是常数，
所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得an+1+an=3n，…①，
又an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
得an+1-3an=-（an-3an-1），（n≥2且n∈N*）．
即an+1-3anan-3an-1=-1，常数，
所以数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
an+1-3an=（-1）n，…②，
解①②得，an=14•3n-14•(-1)n，
∴a1+a2+…an=14（31+32+33+…+3n）-14[（-1）+（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]
=18[3n+1+(-1)n+1-2]
（n∈N*）．