Question

（本题满分16分）已知函数 , .（Ⅰ）若函数 在 时取得极值，求

（本题满分16分）已知函数 , .（Ⅰ）若函数 在 时取得极值，求 的值；（Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间.

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Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）当a<-1时，函数f(x)的单调减区间为 ， 函数 的单调增区间为 .

解：（Ⅰ） .             ……3分 依题意得 , 经检验符合题意.      ……6分 （Ⅱ） ，设 ， （1）当a=0时，f(x)=-e，f(x)在R上为单调减函数. ……8分 （2）当a<0时，方程 =0的判别式为 ， 令 , 解得a=0（舍去）或a=-1. 1°当a=-1时， ， 即 ， 且f’(x)在x=-1两侧同号，仅在x=-1时等于 ， 则f(x)在R上为单调减函数.               ……10分 2°当-1<a<0时， ，则 恒成立， 即f’(x)<0恒成立，则f(x)在R上为单调减函数.  ……11分 3°a<-1时， ，令g(x)=0， 方程 有两个不相等的实数根 ， 作差可知 ， 则当 时，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在 上为单调减函数； 当 时，g(x)>0，f’(x)>0， F(x)在 上为单调增函数； 当 时，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在 上为单调减函数. ……15分 综上所述，当 时，函数f(x)的单调减区间为R；当a<-1时，函数f(x)的单调减区间为 ， ，函数 的单调增区间为 .       ……16分 思路分析：第一问利用 依题意得 , 经检验符合题意. 第二问中， ，设 ， （1）当a=0时，f(x)=-e，f(x)在R上为单调减函数. ……8分 （2）当a<0时，方程 =0的判别式为 ， 令 , 解得a=0（舍去）或a=-1. 构造函数讨论单调性。