Question

选修4-4：坐标系与参数方程．已知曲线C的极坐标方程为ρ= 4cosθ sin 2 θ ，直线l的参数

选修4-4：坐标系与参数方程．已知曲线C的极坐标方程为ρ= 4cosθ sin 2 θ ，直线l的参数方程为 x=tcosα y=1+tsinα （t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

（1）对于曲线C：ρ= 4cosθ sin 2 θ ，可化为 ρsinθ= 4ρcosθ sin   θ ． 把互化公式代入，得 y= 4x y ，即 y 2 =4x，为抛物线． （可验证原点（0，0）也在曲线上）    （5分） （2）根据条件直线l经过两定点（1，0）和（0，1），所以其方程为x+y=1． 由  y 2 =4x x+y=1 ，消去x并整理得 y 2 +4y-4=0． 令A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则y 1 +y 2 =-4，y 1 ?y 2 =-4． 所以|AB|= 1+ 1 k 2 ? ( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 = 1+1 ? (-4 ) 2 -4(-4) =8．（10分）