Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（2）存在x0∈[1，

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-2．（1）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（2）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）求导函数可得：f′（x）=lnx+1，
当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴①0＜t＜t+1＜

1

e

时，没有最小值；
②t＜

1

e

＜t+1，0＜t＜

1

e

时，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+1，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
综上得f（x）_min=

? 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

；
（2）由已知，2xlnx≥-x²+ax-2，则a≤2lnx+x+

2

x

，
设h（x）=2lnx+x+

2

x

（x＞0），则h′（x）=

(x+2)(x?1)

x2

，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，h（x）单调递增，
∴存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即a≤h（x）max=e+

2

e

+1．