Question

如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．（1）求点P的坐标；（2

如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．（1）求点P的坐标；（2）求过点A、B、P三点的抛物线的解析式；（3）点D与点A、B、C三点构成平行四边形，把（2）中的抛物线向上或向下平移多少个单位长度后所得的抛物线经过点D？请直接写出点D的坐标及相应平移方向与平移距离．

Answer 1

解：（1）如图1所示：
∵PA⊥PB，
∴∠2+∠3=90°，
∵AO⊥x轴，
∴∠1=∠2，
又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，
∴∠BCP=∠POA=90°，
∴△BCP∽△POA，
∴

BC

OP

=

PC

AO

，
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴AO=4，BC=1，OC=4，
∴

1

OP

=

4?OP

4

，
解得：OP=2，
∴P（2，0）；

（2）设过点A，B，P三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴

c＝4 1＝16a+4b+c 0＝4a+2b+c

，
解得：

a＝ 5 8 b＝? 13 4 c＝4

，
故抛物线解析式为：y=

5

8

x ²-

13

4

x+4；

（3）如图2所示：当AB=PD₁，AB∥PD₁，此时AD₁PB是平行四边形，AD₁=PB=1，AO=4，则OD₁=3，
故D₁（0，3），利用抛物线过点A，则抛物线向下平移1个单位即可过点D₁；
当AP=BD₂，AP∥BD₂，此时AD₂BP是平行四边形，AD₂=PB=1，AO=4，则OD₂=5，
故D₂（0，5），利用抛物线过点A，则抛物线向上平移1个单位即可过点D₂；
当AB=PD₃，AB∥PD₃，此时APD₃B是平行四边形，PD₃=AB=5，A点和D₃点到PB距离相等为4，则点D₃到x轴距离为3，
故D₃（8，-3），∵y=

5

8

x ²-

13

4

x+4=

5

8

（x-

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