Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*），（1）设bn=an+1-2an，求证：数列{bn}是等比数列

设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*），（1）设bn=an+1-2an，求证：数列{bn}是等比数列；（2）cn＝an2n，求证：数列{cn}是等差数列； （3）求Sn=a1+a2+…+an的值．

Answer 1

（1）由题意，S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，两式相减，得S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n）
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=2b_n（n∈N^*），
q=

bn+1

bn

=2，
又由题设，得1+a₂=4+2=6，即a₂=5
b₁=a₂-2a₁=3，
∴数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，其通项公式为b_n=3?2^n-1．
（2）由题设，可得c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

?

an

2n

=

an+1?2an

2n+1

=

bn

2n+1

=

3?2n?1

2n+1

=

3

4

数列{c_n}是公差为

3

4

的等差数列．
又 c₁=

a1

2

=

1

2

∴c_n=

3

4

n?

1

4

（3）∵c_n=

3

4

n?

1

4

，∴a_n=

3

4

n×2n?

1

4

×2n，
a_n-1=2n?1(

3

4

n?1)∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=4×2n?1(

3

4

n?1)+2=（3n-4）2^n-1+2．