Question

已知函数f（x）=lnx+1x?1（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在xo

已知函数f（x）=lnx+1x?1（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在xo∈[1，e]，使得不等式ma-（xo）＜0成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）证明：ln2l+1n22+…+ln2n＞(n?1)44n3(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=

1

x

?

1

x2

=

x?1

x2

，x＞0．
令f′（x）＞0，得x＞1，因此函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，因此函数f（x）的单调递减区间是（0，1）．…（4分）
（Ⅱ）依题意，ma＜f（x）_max．
由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=lne+

1

e

-1=

1

e

．
∴ma＜

1

e

，即ma-

1

e

＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立．
∴

m×1? 1 e ≤0 m×(?1)? 1 e ≤0

解得-

1

e

≤m≤

1

e

．
所以，m的取值范围是[-

1

e

，

1

e

]．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
故f（x）=lnx+

1

x

-1≥f（1）=0，
∴lnx≥1-

1

x

，以x²替代x，得lnx²≥1-

1

x2

．
∴ln²l+1n²2+…+ln²n＞1-

1

12

+1-

1

22

+…+1-

1

n2

即ln²l+1n²2+…+ln²n＞n-（