已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在x=0,x=4处取得极值.(1)求常数k的值;(2)求函数f(x)的单调

已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在x=0,x=4处取得极值.(1)求常数k的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值;(3)设g(x)=f(x)+c,... 已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在x=0,x=4处取得极值.(1)求常数k的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值;(3)设g(x)=f(x)+c,且?x∈[-1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范围. 展开
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怅然控7rW
2014-11-11 · TA获得超过167个赞
知道答主
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(1)f'(x)=3kx2+6(k-1)x,由于在x=0,x=4处取得极值,
∴f'(0)=0,f'(4)=0,
可求得k=
1
3
…(2分)
(2)由(1)可知f(x)=
1
3
x3?2x2+
8
9
,f'(x)=x2-4x=x(x-4),f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,4) 4 (4,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值
8
9
极小值?
88
9
∴当x<0或x>4,f(x)为增函数,0≤x≤4,f(x)为减函数;      …(4分)
∴极大值为f(0)=
8
9
,极小值为f(4)=?
88
9
…(5分)
(3)要使命题成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1
由(2)得:g(?1)=f(?1)+c=?
13
9
+c
g(2)=f(2)+c=?
40
9
+c
…(6分)
g(x)min=?
40
9
+c≥2c+1

c≤?
49
9
…(8分)
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